Diagonales
EL JUEGO DE LA CIENCIA // CARLO FRABETTI
*Escritor y matemático
Los pitagóricos no concebían los números independientemente de los objetos reales y, por tanto, para ellos solo existían los números enteros y las fracciones. Existen los números 1, 2, 3… porque puedo tener una, dos, tres o más naranjas, y también existen los números fraccionarios, como 1/2 o 1/4, porque puedo tener media naranja o una cuarta parte. Pero un día alguien se preguntó cuánto medía exactamente la diagonal (d) de un cuadrado de lado unidad. Según el teorema de Pitágoras, d2=1+1=2; por tanto, d=?2. ¿Podía expresarse este valor mediante una fracción? Supongamos que sí y llamemos a esa fracción, en su versión simplificada,a/b. Como la fracción está en su forma más simple, a y b no pueden ser los dos pares, pues en tal caso podríamos simplificar la fracción dividiendo ambos términos por 2. Ahora bien, si ?2=a/b, 2=a2/b2, a2=2b2, luego a2 es par, y por tanto a también lo es, puesto que el cuadrado de un número impar no puede ser par. Pero si a es par, es el doble de otro número natural, al que llamaremos n, luego a=2n y a2=(2n)2=4n2. Y como a2=2b2, 4n2=2b2, b2=2n2, luego b también es par. Pero hemos partido de una fracción a/b simplificada, en la que a y b no pueden ser ambos pares. Por tanto, la fracción a/b no existe: ?2 no puede expresarse como la razón entre dos números; es un número irracional.
Parece ser que el descubrimiento de los números irracionales supuso un auténtico trauma para los pitagóricos, hasta el punto de que le exigieron a su descubridor, Hipaso de Metaponto, que mantuviera en secreto su existencia. Pero Hipaso se fue de la lengua y, según una poco creíble leyenda, el mismísimo Pitágoras lo condenó a muerte por revelar su nefasto descubrimiento. Parece más probable que Hipaso muriera ahogado en un naufragio y que algunos atribuyeran el accidente a un atentado de los pitagóricos o a un castigo de los dioses.
Veinticuatro siglos después, otro matemático trazó otra diagonal –esta vez en un cuadrado infinito– y descubrió otro tipo de números “malditos”, que despertaron las iras de algunos de sus colegas. Se llamaba Georg Cantor, y tras imaginar que los infinitos números irracionales comprendidos entre 0 y 1 habían sido numerados (es decir, puestos en correspondencia biunívoca con los números naturales), se dio cuenta de que podía construir un nuevo irracional que fuera distinto del primer número de la hipotética lista en su primer decimal, del segundo en su segundo decimal, y así sucesiva e indefinidamente. Por lo tanto…
Comentario por Galileo galiciano — 15/05/2009 @ 10:39
Por lo tanto …, los infinitos números irracionales del intervalo [0,1) no se pueden poner en correspondencia biunívoca con los infinitos números naturales : los irracionales no son numerables. Y como la unión de racionales (numerables) e irracionales (”Q” U ”I”) constituye el conjunto de los números reales (”R”), también estos no son numerables.
Me viene a la mente la utilización coloquial, imprecisa y general, del adjetivo ”innumerable” (”no numerable”) y la unívoca del numerable matemático. La exploración comparativa del habitual lenguaje verbal y escrito, con términos similares empleados en la lógica matemática, ¿podría dar lugar a algunas reflexiones sobre la naturaleza específica del lenguaje simbólico de las matemáticas y su relación con el lenguaje humano como vehículo del pensamiento?. (Apartado especial para la utilización del lenguaje matemático que realizan los filósofos).
Saludos
Comentario por Anarres — 15/05/2009 @ 12:52
Efectivamente todo depende de la aceptación de los criterios de Cantor para hacer numerables los irracionales, lo que se contradice con otras partes de las matemáticas. Pero el juego con los números transfinitos sigue siendo interesante.
Encontré un curioso argumento por James J. Asher según el cual los irracionales no son números pues continúan indefinidamente desplazándose sin estar en un punto definido.
http://www.tpr-world.com/irrational_numbers.pdf
¿O quizás 3,14…456000…000?¿Cúal es la prueba de que los irracionales tienen infinitos términos?
Comentario por Angel Marín — 15/05/2009 @ 16:26
Al leer los comentarios de los antiguos acerca de este tema de la inconmensurabilidad parece como si ciertas cosas no debieran haber sido conocidas, como si el conocimiento desatara consecuencias imprevisibles, como si la matemática fuera un modo de tentar y de desafiar el poder divino. En los textos trasluce lo que más tarde, en el Medioevo, se bendecirá como temor de Dios. Es verdad que los comentarios llegan de la mano de neoplatónicos en el siglo V (n.E.), en un momento crepuscular de la ciencia griega, pero el tono con el que se describe la osadía de Hipaso es sintomático y casi apocalíptico:
”Es fama que el primero en dar al dominio público la teoría de los irracionales, perecería en un naufragio, y ello porque lo inexpresable e inimaginable debería siempre haber permanecido oculto. En consecuencia, el culpable, que fortuitamente tocó y reveló este aspecto de las cosas vivientes, fue trasladado a su lugar de origen, donde es flagelado a perpetuidad por las olas”.
Quedarse ahí, en el mito de Prometeo, cuando ya se disponía de una espléndida teoría de irracionales (incluida en el libro X de los Elementos de Euclides), es buena prueba de que en ciencia los progresos pueden ir seguidos de retrocesos, vestidos primero de olvido y revestidos después de puro miedo.
Comentario por Galileo galiciano — 15/05/2009 @ 18:59
Anarres, los números racionales no enteros son el cociente de dos enteros a/b (b=/0, b=/1), y cuya expresión decimal es un número exacto o un número con expansión decimal periódica de infinitos términos. Todo número cuya expansión decimal no periódica consta de infinitos términos, decimos que es un número irracional. El ejemplo geométrico para generar ?2 (raiz de 2) y la diagonalización cantoriana, nos introducen en la INFINITUD de los irracionales. Además, el conjunto de los irracionales es denso en los racionales : hay más irracionales que racionales, puesto que entre los racionales y los naturales existe correspondencia biyectiva; entre los irracionales y los naturales o los racionales, no.
Saludos
Comentario por Carlo Frabetti — 16/05/2009 @ 13:51
A ANARRES:
Si un irracional no tuviera infinitos decimales, podría expresarse mediante una fracción: bastaría con quitar la coma y el número resultante sería el numerador; y el denominador, un 1 seguido de tantos ceros como cifras hubiera tras la coma.
Comentario por José Manuel — 17/05/2009 @ 00:41
Alguien podría explicarme, cómo se relacionan, los números irracionales con la realidad?
Comentario por José Manuel — 17/05/2009 @ 00:55
Alguien podría explicarme, cómo se relacionan, los números irracionales con la realidad. (?). Aunque la realidad no tenga nada que ver con ración irracional.
Comentario por Eva — 17/05/2009 @ 07:19
Hace poco creo que teníamos en discusión el concepto de real, y realidad..y ni lo uno ni lo otro: onirismo..imaginación, inconsciente.
Yo me pierdo con los números, es como si caminara entre ellos y ellos fueran del tamaño de personas..unos enteros,naturales, reales, otros dejo pasar, unos racionales otros fiscales.
Unos finitos, otros eternos.
Un saludo.
Comentario por Carlo Frabetti — 17/05/2009 @ 09:43
A JOSÉ MANUEL:
Como sugiere Eva, depende de lo que entendamos por realidad. La realidad física, fenoménica, es discreta, y por tanto los números irracionales no expresan ninguna magnitud ”real” en este sentido.