La diagonal de Cantor

EL JUEGO DE LA CIENCIA // CARLO FRABETTI

Algunos lectores se sorprendieron al leer en mi columna anterior que los números irracionales son “más infinitos” que los naturales. ¿Cómo puede haber algo mayor que el infinito?

Dos conjuntos son numéricamente iguales –tienen el mismo cardinal– cuando entre sus respectivos elementos se puede establecer una relación de uno a uno –un emparejamiento– sin que sobre ni falte ninguno. Si los comensales de un banquete están todos sentados y no sobra ninguna silla, sabemos que hay el mismo número de comensales que de sillas.
A primera vista, podríamos pensar que hay la mitad de números pares que de números naturales, puesto que solo uno de cada dos números es par. Pero, por contrario a la intuición que resulte, hay tantos números pares como naturales, puesto que si cada número natural lo emparejamos con su doble (1-2, 2-4, 3-6…), establecemos una relación biunívoca entre los naturales y los pares, y por lo tanto ambos conjuntos tienen el mismo cardinal. Análogamente, podemos hacerle corresponder un número natural distinto a cada fracción posible, y por lo tanto el conjunto de los números racionales (que son los que pueden representarse mediante una fracción) tiene el mismo cardinal que el de los naturales. Otra forma de expresarlo es decir que tanto los números pares como los racionales son numerables, puesto que emparejarlos con los naturales equivale a confeccionar una lista numerada.

¿Son numerables los irracionales? Recordemos que los números irracionales son los que no pueden expresarse mediante una fracción, como ? o la raíz cuadrada de 2; por lo tanto, tienen infinitos decimales, pues de lo contrario podrían expresarse como fracciones de forma trivial (por ejemplo, 0,377 = 377/1000). A finales del siglo XIX, Cantor demostró que los irracionales no son numerables mediante un ingenioso “método diagonal”. Imaginó que ya había confeccionado una lista numerada de los irracionales comprendidos entre 0 y 1, y luego tomó mentalmente el primer decimal del primer número y le añadió una unidad, el segundo decimal del segundo número y le añadió una unidad, el tercer decimal del tercer número y le añadió una unidad… y así sucesiva e indefinidamente. De este modo, podía construir un número que no estaba en la lista, puesto que era distinto del primero al menos en el primer decimal, del segundo en el segundo, del tercero en el tercero… Y esta “diagonalización” podía efectuarse en cualquier lista hipotética, por lo que una enumeración completa de los irracionales era imposible.
Continuará