El paraíso del cantor

EL JUEGO DE LA CIENCIA // CARLO FRABETTI

La demostración de que los números irracionales eran “más infinitos” que los naturales (ver columna anterior) desencadenó una auténtica batalla campal entre los matemáticos de finales del XIX. Y no era la primera vez que los irracionales (haciendo honor a la acepción más común de su equívoco nombre) desataban pasiones: su descubrimiento mismo, 2.500 años antes, había consternado a los pitagóricos, y cuenta la leyenda que su descubridor, Hipasio de Metaponto, fue arrojado al mar por revelar el terrible secreto de que había números que no podían expresarse como la razón –el cociente– entre dos números enteros (de ahí el nombre de irracionales). Es notable que en ambas ocasiones fuera una diagonal el origen de la conmoción: la diagonal del cuadrado en el primer caso y la diagonal de Cantor en el segundo.

Algunos matemáticos, con Leopold Kronecker a la cabeza, se negaban a aceptar el infinito como concepto aritmético, por lo que los distintos grados de infinitud establecidos por Cantor –a los que llamó números transfinitos– provocaron sus iras. Kronecker, que dijo que Dios solo hizo los números naturales y los demás son obra del hombre, arremetió contra Cantor con una saña más propia de los legendarios asesinos de Hipasio que de un científico, y llegó a acusarlo de corromper a la juventud con “conceptos perniciosos heredados de oscuras filosofías”.

Pero los números transfinitos de Cantor pronto demostraron que, lejos de prolongar antiguas oscuridades, venían a iluminar nuevas y fecundas regiones de la matemática y del pensamiento. Su secuencia se suele designar con la letra hebrea álef acompañada de los subíndices 0, 1, 2… Así, álef-cero es el cardinal del conjunto de los números naturales, y álef-uno es el cardinal del conjunto de los números reales (que comprende a los racionales y los irracionales). Para decirlo de una forma un tanto burda pero menos técnica: de los álef-uno números reales, “sólo” álef-cero son racionales.
¿Hay transfinitos “más infinitos” que los números reales? Pues sí: una sucesión infinita de ellos, por más que la razón desfallezca ante tal perspectiva. Así, álef-dos es el cardinal del conjunto de todas las funciones reales, y álef-tres… Pero, alto, nos estamos adentrando en el dominio de las matemáticas superiores, sobrepasando los límites de esta columna. Con la que espero, pese a la dificultad intrínseca del tema, haber logrado ofrecer una vislumbre de lo que el gran matemático David Hilbert denominó el Paraíso de Cantor.