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La conjetura de Goldbach

El juego de la ciencia//Carlo Frabetti

Cualquier número par se puede expresar como la suma de dos números primos (excepto el 2, el único número par que además es primo); 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7 (o 5+5), 12=5+7, 14=3+11 (o 7+7), 16=3+13 (o 5+11), 18=5+13 (o 7+11), 20=3+17 (o 7+13), 22=3+19 (o 5+17), 24=5+19 (o 7+17, u 11+13)... Si tomamos la serie de los números primos (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...) y los vamos emparejando ordenadamente de todas las maneras posibles, consigo mismos y con los demás (y prescindiendo del 2 tras usarlo para obtener el 4), al sumar los dos miembros de cada pareja vamos obteniendo los sucesivos números pares. Y puesto que cuanto mayor es un número, más maneras distintas hay de expresarlo como la suma de otros dos, parece evidente que siempre podremos descomponer un número par en dos sumandos impares que además sean primos.

Parece evidente, y la mayoría de los matemáticos están convencidos de que así es; pero hasta ahora nadie ha podido demostrarlo. Todo empezó cuando, en 1742, el matemático prusiano Christian Goldbach le escribió a Euler una carta en la que lo invitaba a encontrar una demostración de esta suposición tan razonable, casi evidente, conocida desde entonces como la conjetura de Goldbach.

Pero el gran Euler, al que nunca se le resistía un problema relacionado con los números, fue incapaz de hallar una demostración, y todos los que lo han intentado tras él, que han sido legión, han fracasado. Y lo más frustrante es que, por lo que sé, todos los que hemos abordado el problema (debo reconocer que me cuento entre ellos) hemos tenido en algún momento la sensación de que la demostración estaba al alcance de la mano, como esas palabras que tenemos "en la punta de la lengua" y no acertamos a pronunciar. La fuerza bruta de los ordenadores ha demostrado que la conjetura de Goldbach se cumple para todos los números pares inferiores a cien trillones (un 1 seguido de veinte ceros); pero esto, frente al infinito, no es nada, y algunos matemáticos opinan que los números primos muy grandes podrían depararnos más de una sorpresa.

Y, por otra parte, nadie ha podido encontrar un contraejemplo, es decir, un número par no expresable como la suma de dos primos, lo que demostraría que la conjetura es errónea. Un problema aparentemente trivial, al alcance de un niño, y que ha resultado ser uno de los más difíciles de la historia de las matemáticas (el más difícil, según algunos). Toda una lección de humildad, y no solo para los matemáticos.