EL JUEGO DE LA CIENCIA // CARLO FRABETTI

* Escritor y matemático

Un viajero llega a un hotel de infinitas habitaciones con intención de alojarse en él, pero está completo. Sin embargo, a la astuta recepcionista se le ocurre una solución: le pide al cliente de la habitación 1 que se cambie a la 2, al de la 2 que pase a la 3, y así sucesivamente; de este modo, la primera habitación queda disponible para el recién llegado. Poco después llegan infinitos viajeros. Ningún problema: la recepcionista le pide al ocupante de la habitación 1 que se cambie a la 2, al de la 2 que pase a la 4, al de la 3 que se mude a la 6... Cada cliente se traslada a la habitación cuyo número es el doble del de la que ocupaba antes, y de este modo quedan libres las infinitas habitaciones impares para los infinitos recién llegados. La cosa se complica cuando de pronto llegan infinitos grupos de viajeros con infinitas personas en cada grupo. ¿Podrán alojarse todos? (Dejo la solución en manos de mis sagaces lectores y lectoras).

Con su hotel de infinitas habitaciones, el gran matemático alemán David Hilbert ilustró, a finales del siglo XIX, algunas de las paradojas del infinito, en las que ya había reparado Galileo. A primera vista, parece claro que los números pares son la mitad de los números naturales, puesto que uno de cada dos es par; sin embargo, entre los naturales y los pares se puede establecer una correspondencia biunívoca sin más que asignarle a cada número su doble. Y dos conjuntos tales que a cada elemento de uno le corresponde un (y solo un) elemento del otro, obviamente contienen el mismo número de elementos.

"Claro -podría pensar alguien-, tanto los números naturales como los pares son infinitos, y no puede haber un infinito mayor que otro". Pero no es así. Como demostró Cantor, y aunque la intuición nos diga lo contrario, hay infinitos más grandes -infinitamente más grandes- que otros. Toda una serie de ellos: la "terrible dinastía" -como la denominó Borges- de los números transfinitos. Cantor demostró que hay infinitos grados de infinitud, que designó con la letra hebrea álef (de ahí el título del famoso cuento de Borges) y los correspondiente subíndices. Álef subcero (o álef-0) es el "simple" infinito de los números naturales, y también el de los racionales (los expresables mediante una fracción). Álef-1 es el infinito de los números reales (que incluyen a los irracionales y los trascendentes, como pi, y no son numerables, es decir, emparejables con los naturales). Álef-2...